Question

已知函数f(x)=x2+

2

x

，g(x)=(

1

2

)x+m，若?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是

m≤

5

2

．

Answer 1

分析：对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_min≥g（x）_min，利用导数可判断f（x）的单调性，由单调性可求得f（x）的最小值；根据g（x）的单调性可求得g（x）的最小值．

解答：解：对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_min≥g（x）_min，
f′（x）=2x-

2

x2

=

2(x-1)(x2+x+1)

x2

，
当x∈[1，2]时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，2]上递增，
∴f（x）_min=f（1）=3；
由g（x）=(

1

2

)x+m在[-1，1]上递减，得g（x）_min=g（1）=

1

2

+m，
∴3≥

1

2

+m，解得m≤

5

2

，
故答案为：m≤

5

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值问题，考查函数恒成立，考查转化思想，转化为函数最值是解决恒成立问题的常用方法．