Question

已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．

(1)求MN的长；

(2)a为何值时，MN的长最小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵面ABCD⊥平面ABEF，面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥面ABC．∴AB，BC，BE两两垂直． 　　∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所求的空间直角坐标系． 　　则A(1，0，0)，B(0，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)． 　　由点N向AB作垂线，设垂足为G，由于， 　　∴GN＝a，BG＝a，∴点N的坐标为(a，a，0)． 　　同理可求得M点的坐标为(a，0，1－a)． 　　(1)由空间两点的距离公式，得MN＝ 　　(2)由(1)知，MN＝， 　　∴当a＝时，MN的长最小，最小值为． 　　深化升华：通过建立恰当的空间直角坐标系，把空间问题代数化，从而利用二次函数配方法求最值．

提示：

本题为2002年高考题的前二问，对该题的求解方法很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷，又易行的方法，通过几种方法的对照比较，体现坐标法解题的优越性．