Question

16．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGH是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．
（1）求证：平面BCG⊥平面EHG；
（2）若a=4，求四棱锥G-BCEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BH，推导出HG⊥GB，从而CB⊥平面ABGF，进而CB⊥HG，由此能证明HG⊥平面BCG，从而平面EHG⊥平面BCG．
（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP、FB交于点O，过G作GK⊥FB于K，由此能求出四棱锥G-BCEF的体积．

解答 证明：（1）连接BH，由AH=$\frac{3}{4}a$，AB=a，
知：HB=$\sqrt{（\frac{3}{4}a）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}a$，
HG=$\sqrt{（\frac{1}{4}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}a$，
GB=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴HB²=HG²+GB²，从而HG⊥GB，…（3分）
∵DA⊥AF，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABGH，
又∵CB∥DA，∴CB⊥平面ABGF，
∴CB⊥HG，∴HG⊥平面BCG，
∵HG⊥平面EHG，∴平面EHG⊥平面BCG．…（6分）
解：（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，
连接AP、FB交于点O，
过G作GK⊥FB于K，
则GK=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，…（8分）
∴四边形BCEF的面积S=4×$4\sqrt{2}=16$，…（10分）
故V_G-BCEF=$\frac{1}{3}×16\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{32}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．