Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱

CD上的动点.

（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（II）当D??₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.

Answer 1

（Ⅰ）当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F.（Ⅱ）

解析:

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.

         解法一：（I）连结A₁B，则A₁B是D₁E在面ABB₁A；内的射影

    ∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，

         于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

         连结DE，则DE是D₁E在底面ABCD内的射影.

         ∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

         ∵ABCD是正方形，E是BC的中点.

         ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

         即当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分

         （II）当D₁E⊥平面AB₁F时，由（I）知点F是CD的中点.

         又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，

         设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C₁H，则CH是

         C₁H在底面ABCD内的射影.

         C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁—EF—C的平面角.

         在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，

         ∴tan∠C₁HC=.

         ∴∠C₁HC=arctan，从而∠AHC₁=.

         故二面角C₁—EF—A的大小为.

         解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

         （1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

         A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F（x，1，0）

        

        

（1）当D₁E⊥平面AB₁F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C₁H，则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

         ∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁—EF—A的平面角.