某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解析 (1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋
πr3，又V＝，
故l＝
＝
－r＝(
－r)．
由于l≥2r，因此0<r≤2.
所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，
因此y＝4π(c－2)r2＋
，0<r≤2.
(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－
＝
(r3－
)，0<r<2.
由于c>3，所以c－2>0.
当r3－＝0时，r＝
.
令＝m，则m>0.
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0<m<2即c>
时，
当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m,2)时，y′>0.
所
以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3<c≤时，
当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，
所以r＝2是函数y的最小值点．
综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；
当c>时，建造费用最小时r＝.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为| 80π | 3 |
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科目：高中数学 来源：2014届湖南省四校高三上学期第三次联考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米，且
．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
千元，设该容器的建造费用为
千元．
（Ⅰ）写出关于
的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年新课标高三上学期单元测试数学 题型：解答题
（12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米，且
.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
.设该容器的建造费用为
千元.
（Ⅰ）写出关于
的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
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科目：高中数学 来源：2011年高考试题数学文（山东卷）解析版 题型：解答题
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米，且
.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
千元.设该容器的建造费用为
千元.
（Ⅰ）写出关于
的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
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科目：高中数学 来源：2011年高考试题数学文2（山东卷）解析版 题型：解答题
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米，且
.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
.设该容器的建造费用为
千元.
（Ⅰ）写出关于
的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
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