Question

设A={(x,y)|y²－x－1=0},B={(x,y)|4x²+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论.

Answer 1

k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=

解析:

∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=

∵  ∴k²x²+(2bk－1)x+b²－1=0

∵A∩C=

∴Δ₁=(2bk－1)²－4k²(b²－1)<0

∴4k²－4bk+1<0,此不等式有解，

其充要条件是16b²－16>0, 

即      b²>1            ①

∵

∴4x²+(2－2k)x+(5+2b)=0

∵B∩C=,∴Δ₂=(1－k)²－4(5－2b)<0

∴k²－2k+8b－19<0, 从而8b<20,

即      b<2.5            ②

由①②及b∈N,得b=2代入由Δ₁<0和Δ₂<0组成的不等式组，得

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.