Question

14．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（log₃x+m），x∈[$\frac{1}{3}$，3]的最小值为3，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设出f（x）解析式，表示出f（x+1），代入已知等式确定出a，b，c的值，即可求出f（x）解析式；
（2）令t=log₃x+m，得到f（t）关于t的二次函数，由x∈[$\frac{1}{3}$，3]的最小值为3，利用二次函数性质确定出m的值即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
∵f（x+1）-f（x）=2x-1，
∴a=1，b=-2，c=3，
则f（x）=x²-2x+3；
（2）令t=log₃x+m，则t∈[m-1，m+1]，
则y=f（log₃x+m）=f（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，
当1≤m-1?m≥2时，则f（m-1）=3⇒m=3，
当1≥m+1?m≤0时，则f（m+1）=3⇒m=-1，
当m-1＜1＜m+1?0＜m＜2时，f（1）=3不成立，
综上，m=-1或m=3．

点评 此题考查了二次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．