Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且对于任意的正整数m，n都有a_m+n=a_ma_n+a_m+a_n，则数列{a_n}的通项公式为

2ⁿ-1

．

Answer 1

分析：先根据条件得到a_n+1=a_na₁+a_n+a₁=2a_n+1；进而得到数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列；即可求出答案．

解答：解：因为数列{a_n}中，a₁=1，且对于任意的正整数m，n都有a_m+n=a_ma_n+a_m+a_n，
∴a_n+1=a_na₁+a_n+a₁=2a_n+1；
∴a_n+1+1=2（a_n+1）；
∴

an+1+1

an+1

=2；
故数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列；
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ．
∴a_n=2ⁿ-1．
故答案为；   2ⁿ-1．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．