Question

设函数f(x)=x³+ax²+x(a∈R).

(1)当x=2时,f(x)取得极值,求a的值;

(2)若f(x)在(0,+∞)内为增函数,求a的取值范围.

Answer 1

解:f′(x)=2x²+ax+1,

(1)由题意f′(2)=8+2a+1=0,解得a=.

(2)方程2x²+ax+1=0的判别式Δ=a²-8,

①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,2x²+ax+1≥0,f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,此时f(x)为增函数;

②当Δ＞0,即a＜-2或a＞2时,要使f(x)在(0,+∞)内为增函数,只需在(0,+∞)内有2x²+ax+1≥0即可,设g(x)=2x²+ax+1,由得a＞0,所以a＞2.

由①②可知,若f(x)在(0,+∞)内为增函数,a的取值范围是［-2,+∞).