Question

求与椭圆＋＝1相交于A、B两点，且点M(1，1)恰为弦AB的中点的直线方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一　显然，AB与x轴不垂直，设它的方程为y－l＝k(x－1)，代入椭圆方程，得(9k2＋4)x2－(18k2－18k)x＋9k2－18k－27＝0．依题意，k须满足 　　∴k＝－，故所求直线方程为y＝－(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0为所求． 　　方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1≠x2．因为A、B都在椭圆上，所以有＋＝1　①，＋＝1　②，＝l　③，＝1　④． 　　①－②得＋＝0　⑤ 　　③、④代入⑤得＝－， 　　即　kAB＝－， 　　所以所求直线方程为y－1＝－(x－1)， 　　即4x＋9y－13＝0． 　　分析：该题是直线与圆锥曲线的位置关系中常见的“中点法”问题，下面提供解法两种，大家比较一下它们的优劣． 　　点评：方法一思路直接，通过直线的点斜式方程，利用中点公式和韦达定理求出斜率，达到目的．方法二先设出交点坐标(设而不求)，然后代入椭圆方程作差，巧妙地用到了已知条件并求出了直线的斜率，运算量比方法一要少得多，大家要掌握这一技巧．