Question

7．已知F为抛物线C：y²=2px的焦点，点A（3，m）在抛物线C上，且|AF|=5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P、Q两点，求弦PQ的中点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，建立方程即可求出p的值，进而确定答案．
（2）利用点差法，即可求弦PQ的中点坐标．

解答 解：（1）由题知3+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=4，
故C的方程为y²=8x；
（2）F（2，0），设P（ x₁，y₁）、Q（ x₂，y₂），中点（ x₀，y₀），
则y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
两式相减得（y₁+y₂）×2=8，
∴y₀=2．
又中点在直线PQ上，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=2，
∴x₀=3，即中点坐标为（3，2）．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程的应用和抛物线的基本性质．考查对基础知识的灵活运用．