Question

已知函数f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，

5π

12

]，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：将函数解析式括号中第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，去括号后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）由正弦函数的递增区间，即可求出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值，即可得到m的取值范围．

解答：解：f（x）=（sinx+

3

cosx+sinx）cosx--

3

sin²x
=2sinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
（Ⅰ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

5π

12

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-1≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴-1≤f（x）≤2，即f（x）的最大值为2，
∵不等式f（x）＜m恒成立，
则m＞2．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及不等式恒成立满足的条件，熟练掌握公式是解本题的关键．