Question

（2012•乐山二模）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象过点M（0，2），又f（x）的图象关于点N（

3π

4

，0）对称，且在区间[0，π]上是减函数，则f（x）=（　　）

• A．2cosx
• B．2cos2x
• C．2cos

  2

  3

  x
• D．2cos

  x

  3

Answer 1

分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）是R上的偶函数，求得φ=

π

2

．由于函数的图象过点M（0，2），求得 A=2，可得函数y=2cosωx．再由f（x）的图象关于点N（

3π

4

，0）对称，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z ①．根据函数f（x）在区间[0，π]上是减函数求得ω≤1②，检验各个选项中的函数是否同时满足①②，从而得出结论．

解答：解：根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函数，故φ=

π

2

．
由于函数的图象过点M（0，2），可得Asinφ=Asin

π

2

=2，∴A=2，故函数y=2cosωx．
再由f（x）的图象关于点N（

3π

4

，0）对称，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z ①．
根据函数f（x）在区间[0，π]上是减函数可得它的周期

2π

ω

≥2π，∴ω≤1，故排除B．
经过检验，ω=1和ω=

1

3

，都不满足①，故排除A，D，而ω=

2

3

满足①，
故选C．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，复合三角函数的图象和性质应用，属于中档题．