Question

设0＜θ＜2π，且方程2sin（θ+

π

3

）=m有两个不同的实数根，则这两个实根的和为

π

3

或

7π

3

．

Answer 1

分析：根据正弦函数的图象，求出y=2sin（θ+

π

3

）的图象关于直线θ=

π

6

+kπ（k∈Z）对称．结合题意得方程的两个根
关于θ=

π

6

对称或关于θ=

7π

6

对称，由此即可得出这两个实根的和．

解答：解：令θ+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），得θ=

π

6

+kπ（k∈Z），
∴y=2sin（θ+

π

3

）的图象关于直线θ=

π

6

+kπ（k∈Z）对称
∵0＜θ＜2π，
∴方程2sin（θ+

π

3

）=m有两个不同的实数根时，这两个根关于θ=

π

6

对称，或关于θ=

7π

6

对称
因此，设两个根为α、β，可得α+β=

π

3

或α+β=

7π

3

故答案为：

π

3

或

7π

3

点评：本题给出三角方程，求方程在（0，2π）两个实数根的和．着重考查了三角函数的图象与性质和函数图象的对称性等知识，属于基础题．