Question

用电阻值分别为a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ （a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆） 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．

Answer 1

分析：先判断当R_i=a_i，i=3，4，5，6，R₁，R₂是a₁，a₂的任意排列时，6个电阻的组件的总电阻最小，再分步进行证明即可．

解答：解：设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为R_FG．
当R_i=a_i，i=3，4，5，6，R₁，R₂是a₁，a₂的任意排列时，R_FG最小．…（5分）
证明如下：
1°设当两个电阻R₁，R₂并联时，所得组件阻值为R：则

1

R

=

1

R1

+

1

R2

．
故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R₁或R₂变小时，R也减小，因此不妨取R₁＞R₂．
2°设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为R_AB：RAB=

R1R2

R1+R2

+R3=

R1R2+R1R3+R2R3

R1+R2

．
显然R₁+R₂越大，R_AB越小，所以为使R_AB最小必须取R₃为所取三个电阻中阻值最小的一个．
3°设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为R_CD：

1

RCD

=

1

RAB

+

1

R4

=

R1R2+R1R3+R1R4+R2R3+R2R4

R1R2R4+R1R3R4+R2R3R4

．
若记S1=

1≤i＜j≤4

RiRj，S2=

1≤i＜j＜k≤4

RiRjRk，则S₁、S₂为定值．
于是RCD=

S2-R1R2R3

S1-R3R4

．
只有当R₃R₄最小，R₁R₂R₃最大时，R_CD最小，故应取R₄＜R₃，R₃＜R₂，R₃＜R₁，即得总电阻的阻值最小．…（15分）
4°对于图3，把由R₁、R₂、R₃组成的组件用等效电阻R_AB代替．
要使R_FG最小，由3°必需使R₆＜R₅；且由1°，应使R_CE最小；由2°知要使R_CE最小，必需使R₅＜R₄，且应使R_CD最小．
而由3°，要使R_CD最小，应使R₄＜R₃＜R₂且R₄＜R₃＜R₁．
这就说明，要证结论成立…（20分）

点评：本题考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，难度较大，需要认真分析与计算．