Question

在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2(如图(1)).将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置,使二面角A₁-EF-B成直二面角,连结A₁B、A₁P(如图(2)).

(1)求证:A₁E⊥平面BEP;

(2)求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小;

(3)求二面角B-A₁P-F的大小(用反三角函数值表示).

                   (1)                                             (2)

Answer 1

解:不妨设正三角形ABC的边长为3.

(1)证明:在图(1)中,取BE的中点D,连结DF.

                   (1)                                             (2)

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,

∴AF=AD=2.

而∠A=60°,∴△ADF是正三角形.

又AE=DE=1,∴EF⊥AD.

在图(2)中,A₁E⊥EF,BE⊥EF,

∴∠A₁EB为二面角A₁EFB的平面角.

由题设条件知此二面角为直二面角,

∴A₁E⊥BE.

又BE∩EF=E,∴A₁E⊥平面BEF,

即A₁E⊥平面BEP.

(2)在图(2)中,∵A₁E不垂直于A₁B,

∴A₁E是平面A₁BP的斜线.

又A₁E⊥平面BEP,

∴A₁E⊥BP.

从而BP垂直于A₁E在矫鍭₁BP内的射影(三垂线定理的逆定理).

设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q,且A₁Q交BP于点Q,则

∠EA₁Q就是A₁E与平面A₁BP所成的角,

且BP⊥A₁Q.

在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60°,

∴△EBP是等边三角形.

∴BE=EP.

又A₁E⊥平面BEP,

∴A₁B=A₁P.

∴Q为BP的中点,且EQ=.

又A₁E=1,在Rt△A₁EQ中,

tan∠EA₁Q=,

∴∠EA₁Q=60°.

∴直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60°.

                     (3)

(3)在图(3)中,过F作FM⊥A₁P于M,连结QM、QF.

∵CF=CP=1,

∠C=60°,

∴△FCP是正三角形.∴PF=1.

又PQ= BP=1,

∴PF=PQ.                                 ①

∵A₁E⊥平面BEP,EQ=EF=,

∴A₁F=A₁Q.

∴△A₁FP≌△A₁QP.

从而∠A₁PF=∠A₁PQ.                     ②

由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ.

从而∠FMQ为二面角BA₁PF的平面角.

在Rt△A₁QP中,A₁Q=A₁F=2,PQ=1,

∴A₁P=.

∵MQ⊥A₁P,

∴MQ=.

∴MF=.

在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=60°,由余弦定理得QF=,

在△FMQ中,

cos∠FMQ=.

所以二面角BA₁PF的大小为π-arccos .