Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=,其中a,b∈(0,+∞),且a≠1,

(1)求证：数列{a_n}是等比数列;

(2)若数列{a_n}同时又是等差数列，求b.

Answer 1

(1)证明一：∵a_n=,

∴a_n+1=.

∴==2^log_ab(常数).

故数列{a_n}是等比数列.

证明二：∵a_n=,

∴a_n+1=，a_n+2=.

∴a_n·a_n+2=·=

=［］²=a_n+1².

故数列{a_n}是等比数列.

（2）解：∵数列{a_n}既是等差数列，又是等比数列,

∴

∴()²=a_n-1·a_n+1.

∴(a_n+1-a_n-1)²=0,a_n+1=a_n-1.

∴=.

∴log_ab=0,∴b=1.

温馨提示

(1)判断或证明一个数列是等比数列主要方法有两种：

①利用定义：=q(常数);

②利用等比中项性质：a_n+1²=a_n·a_n+2.

(2)若要说明一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可.

（3）既是等差数列，又是等比数列的数列一定是非零的常数列，即公差为0，公比为1.