Question

5．全集U=R，函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{sinx-\frac{1}{2}}}$+lg（2-x²）的定义域为集合A，集合B={x|x²-a＜0}．
（1）求∁_UA；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式以及对数函数的性质求出集合A，从而求出A的补集即可；
（2）通过讨论B是空集和B不是空集判断即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{sinx-\frac{1}{2}＞0}\\{2{-x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{π}{6}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴A={x|$\frac{π}{6}$＜x＜$\sqrt{2}$}，
故∁_UA=（-∞，$\frac{π}{6}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）当B=∅即a≤0时，满足A∪B=A，
当B≠∅即a＞0时，B={x|-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$}，
A∪B=A，故B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{6}≤-\sqrt{a}}\\{\sqrt{a}≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，无解，
综上，a的范围是{a|a≤0}．

点评 本题考查了对数函数和二次根式的性质，考查集合的运算，是一道中档题．