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已知直线y=-2x-
2
3
与曲线f(x)=
1
3
x3-bx
相切.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2,求m的取值范围.
分析:(I)先求出导函数f'(x),设出切点(x0,y0),然后根据在x=x0的导数等于切线的斜率,切点在切线和函数f(x)的图象上,建立方程组,解之即可求出b的值;
(II)构造函数h(x)=f(x)-x2-m=
1
3
x3-x2-3x-m
,利用导数研究函数h(x)的单调性,转化成使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,建立关系式,解之即可求出m的范围.
解答:解:(I)∵f(x)=
1
3
x3-bx
,∴f'(x)=x2-b,
设切点为(x0,y0),依题意得∴
1
3
x
3
0
-bx0=y0
y0=-2x0-
2
3
x
2
0
-b=-2

解得:b=3
(II)设h(x)=f(x)-x2-m=
1
3
x3-x2-3x-m

h′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),
令h′(x)=0,得x=-1或x=3
在(0,3)上,h′(x)<0,故h(x)在(0,3)上单调递减,
在(3,+∞)上,h′(x)>0,故h(x)在(3,+∞)上是单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需
h(0)=-m>0
h(3)=-9-m<0
∴-9<m<0.
此时存在x>3时,h(x)>0,
例如x=5时,h=
125
3
-25=15-m=
5
3
-m>0.

∴所求m的范围是-9<m<0.
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数与方程的综合运用等基础题知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
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PA
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PA
PB
夹角为钝角的一个充分不必要条件是(  )
A、-1<a<2
B、0<a<1
C、-
2
2
<a<
2
2
D、0<a<2

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OA
OB
=
9
2
,则实数a的值是
3
5
2
3
5
2

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