Question

设函数f（x）=﹣x³+x²+（m²﹣1）x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+有三个互不相同的零点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣x³+x²+（m²﹣1）x，（x∈R），
∴f′（x）=﹣x²+2x+m²﹣1．
令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1﹣m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

f（x）在x=1﹣m处取极小值
f（1﹣m）=﹣=﹣．
f（x）在x=1+m处取极大值
f（1+m）=﹣=．
（Ⅱ）∵f（x）=﹣x³+x²+（m²﹣1）x，
∴g（x）=f（x）+=﹣x³+x²+（m²﹣1）x+，
由（Ⅰ）知：g（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，
在（1﹣m，1+m）内是增函数．
在x=1﹣m处取极小值，x=1+m处取极大值，
∵函数g（x）=f（x）+有三个互不相同的零点，且m＞0，
∴，解得．