Question

已知函数y=cos²x+sinxcosx+1，该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

思路分析：首先利用倍角公式和和角公式将原式转化成y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）的形式.

解法1：∵y=cos²x+sinxcosx+1

=·sin2x+1

=cos2x+sin2x+

=sin（2x+）+,

∴将函数y=sinx依次进行如下变换：

（1）把函数y=sinx的图象向左平移，可得函数y=sin（x+）的图象.

（2）把得到的函数y=sin（x+）的图象上各点横坐标缩短到原来的倍，而纵坐标不变，就可得到函数y=sin（2x+）的图象.

（3）把第（2）步得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，即得到函数y=sin（2x+）的图象.

（4）把（3）步得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图象.

综上四步变换，就得到了函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象?

解法2：∵y=cos²x+sinxcosx+1

=sin（2x+）+，

∴将函数y=sinx的图象依次进行如下变换可得函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象.

（1）把函数y=sinx的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍，而横坐标不变，可得到函数y=sinx的图象.

（2）把得到的函数y=sinx的图象上各点横坐标缩短到原来的倍，而纵坐标不变，可得到函数y=sin2x的图象.

（3）把所得的函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得到函数y=sin（2x+）的图象.

（4）再把得到的图象向上平移个单位，就可得到函数y=sin（2x+）+的图象.

综上可得到函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象.