Question

已知椭圆，过点A（0，-1）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1与椭圆E交于C、D两点，以线段CD为直径的圆过点M（-1，0），求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：x-ay-a=0
∵过点A（0，-1）和B（a，0）的直线与原点的距离为，
∴
∴a=
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），将直线l：y=kx+1代入椭圆E，消元可得（1+3k²）x²+6kx=0
∴x₁=0，x₂=
∴y₁=1，y₂=，
∵以线段CD为直径的圆过点M（-1，0），
∴
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴
∴
∴直线l的方程为．
分析：（Ⅰ）求得直线AB的方程为：x-ay-a=0，利用过点A（0，-1）和B（a，0）的直线与原点的距离为，求得a的值，即可得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）将直线l：y=kx+1代入椭圆E，消元可得（1+3k²）x²+6kx=0，求得C，D的坐标，利用，即可求得直线l的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，将直线与椭圆方程联立是关键．