Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，有f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1时，求f（x）的导函数，计算曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k，写出该点处的切线方程；
（2）由题意设g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）应是增函数，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范围．

解答：解：（1）a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f（1）=-2，
∴f′(x)=2x-3+

1

x

，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=0；
所以在点（1，f（1））处的切线方程为 y=-2；
（2）令g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，（x＞0）；
由题意知g（x）在（0，+∞）单调递增，所以g'（x）=2ax-a+

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
令h（x）=2ax²-ax+1，（x＞0）；
则①若a=0，h（x）=1≥0恒成立，
②若a＜0，二次函数h（x）≥0不恒成立，舍去
③若a＞0，二次函数h（x）≥0恒成立，只需满足最小值h(

1

4

)≥0，即

a

8

-

a

4

+1≥0，解得0＜a≤8；
综上，a的取值范围是[0，8]．

点评：本题考查了利用导数求函数图象上过某点切线方程的斜率以及应用导数判定函数的增减性问题，是中档题．