设函数f(x)的定义域为D.若存在非零实数l使得对于任意x∈M.有x+l∈M.且f为M上的l高调函数．现给出下列命题:①函数f(x)=(12)x为R上的1高调函数,②函数f上的m高调函数,③函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数,④若函数f(x)=x2为[-1.+∞)上的m高调函数.那么实数m的取值范围是[2.+∞)．其中正确命题的序号是①②③④①②③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•泸州一模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数f(x)=(

)x为R上的1高调函数；
②函数f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数；
③函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
④若函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．
其中正确命题的序号是

①②③④

（写出所有正确命题的序号）．

分析：①函数f(x)=(

)x为减函数，存在负实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），满足高调函数定义；
②根据对数函数f（x）=lgx的图象可得对数函数为增函数，且满足高调函数定义，故f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数；
③由正弦函数知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
④函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：函数f（x+l）=(

)x+l，f(x)=(

)x，
要使f（x+l）≥f（x），需要(

)x+l≥(

)x恒成立，只需l≤0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函数f(x)=(

)x是R上的1（l≤0）高调函数，故①正确；
∵f（x）=lgx为增函数，∴当m＞0时，lg（x+m）≥lgx，
∴函数f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数，故②正确；
∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故③正确；
∵如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么实数m的取值范围是[2，+∞），故④正确，
综上，正确的命题序号是①②③④．
故答案为：①②③④

点评：此题属于新定义的题型，涉及的知识有：函数单调性的判断与证明，以及基本初等函数的性质，其中认真审题，弄清新定义的本质，找到判断的标准是解本题的关键．

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