Question

定义在（-1，1）的函数f（x），对于任意的x，y∈（-1，1），都有f(

x+y

1+xy

)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f（x）＞0，f(

1

2

)=

1

2

（1）判断f（x）的奇偶性并证明
（2）证明f（x）在区间（-1，1）上是增函数
（3）若f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）令x=y=

1

2

得：f（

4

5

）=1，由（2）知，f（x）在[-

4

5

，

4

5

]上是增函数，f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立?m²-2am≥0，a∈[-1，1]恒成立．构造函数g（a）=m²-2am，对所有的a∈[-1，1]，g（a）≥0成立即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
证明：∵函数定义域为（-1，1），
令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x2x1

），而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1
∴1-x₁x₂＞0
∴

x2-x1

1-x2x1

＞0，又x＞0时，f（x）＞0，
∴f（

x2-x1

1-x2x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）∵f（

1

2

）=

1

2

，f（

x+y

1+xy

）=f（x）+f（y），
∴令x=y=

1

2

得：f（

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

）=2f（

1

2

）=1，即f（

4

5

）=1．
因为函数f（x）在（-1，1）上是增函数，故在[-

4

5

，

4

5

]上是增函数，
又f（

4

5

）=1，
f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立?1＜m²-2am+1，对所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am＞0，a∈[-1，1]恒成立．
记g（a）=m²-2am，对所有的a∈[-1，1]，g（a）＞0成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0．即g（-1）＞0；g（1）＞0．
解得：m＜-2或m＞2．
故m的取值范围为m＜-2或m＞2．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性，突出考查函数单调性的证明，考查赋值法与构造函数思想，转化思想的综合运用，属于难题．