Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，且f（

π

2

）=-

2

3

，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=

2

3

，c=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得T=

2π

3

，从而可求ω，由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象经过（

7π

12

，-

2

3

）及0＜φ＜π可求得φ，又f（

π

2

）=-

2

3

可求A；
（2）在锐角△ABC中，由f（C）=

2 2

3

sin（3C+

π

4

）=

2

3

，可求C；利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，c=1及基本不等式可求得ab≤2+

3

，从而可得答案．

解答：解：（1）由题意得，

T

2

=

11π

12

-

7π

12

=

π

3

，故T=

2π

3

，
∴ω=3…2分                
又当x=

7π

12

时，3x+φ=

7π

4

+φ=2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

4

…4分   
∴f（x）=Asin（3x+

π

4

）；
又f（

π

2

）=-

2

3

，
∴A=

2 2

3

…6分
∴f（x）=

2 2

3

sin（3x+

π

4

）；…7分
（2）由f（C）=

2 2

3

sin（3C+

π

4

）=

2

3

，
∴sin（3C+

π

4

）=

2

2

，又0＜C＜

π

2

，
∴3C+

π

4

∈（

π

4

，

7π

4

），
∴3C+

π

4

=

3π

4

，故C=

π

6

…9分
∵c²=a²+b²-2abcosC，c=1，
∴1=a²+b²-

3

ab≥（2-

3

）ab，
∴ab≤2+

3

…11分
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

4

ab≤

2+ 3

4

…13分
∴△ABC面积的最大值为

2+ 3

4

…14分

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查余弦定理与三角形面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．