Question

关于x的方程x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=0有实根，则a²+b²的最小值为

4

5

．

Answer 1

分析：设f（x）=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=0有实根即（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2=0有实根，即方程至少有一根大于等于2或小于等于-2，由此能够求出a²+b²的最小值．

解答：解：设f（x）=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=0有实根
即（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2=0有实根，即方程至少有一根大于等于2或小于等于-2，
令t=x+

1

x

，
设g（t）=t²+at+b-2，
则有：
△=a²-4b+8≥0，①
由①可得|a|≥4或|a|≤4且b≤6，
g（t）=t²+at+b-2=0，
有两根，分别为-

a

2

-

a2-4(b-2)

2

、-

a

2

+

a2-4(b-2)

2

，
分析可得有-

a

2

-

a2-4(b-2)

2

≤-2或-

a

2

+

a2-4(b-2)

2

≥2，
化简得2a-b≥2 其中a²-4（b-2）≥0，
若b≥-2 则2a-b≥2可化为a²≥

b2

4

+b+1≥4（b-2）相等情况为b=6
则可设2a=b+2+p 其中p≥0
则a²+b²=

4

5

（

p

2

+1），分析可得p=0时，a²+b²的最小值为

4

5

，
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查二次函数的性质和应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．