Question

如图，三棱柱ABD－A₁B₁D₁是长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁沿对角面BDD₁B₁所截而成，AA₁＝A₁D₁＝AB，点P在A₁B₁上，且A₁P＝A₁B₁，求异面直线AP与A₁D所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：如图，以侧面BDD1B1为连接面补上一个相同的三棱柱使之还原成长方体． 　　连接B1C，则B1C∥A1D．在AB上取点Q，使BQ＝A1P． 　　因为A1B1＝AB，所以PB1＝AQ． 　　又因为PB1∥AQ， 　　所以四边形APB1Q是平行四边形， 　　所以AP∥QB1． 　　连接CQ，设AB＝4，由题可知，QB＝1，BB1＝BC＝2， 　　所以QB1＝QC＝，B1C＝2． 　　在等腰三角形QB1C中，取B1C的中点O，连接QO， 　　则QO⊥B1C，B1O＝． 　　所以，在Rt△QOB1中， 　　cos∠QB1C＝cos∠QB1O＝＝＝． 　　点评：本题中给出的几何体是由同学们所熟知的长方体切割而成，所以通过补体还原可帮助解题．长方体中有很多平行关系，它使直线的平移更直观、方便．