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    已知A，B是焦距为4
    		2
    的椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右顶点和上顶点，过原点O与线段AB中点M的直线交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），直线OM的方程为y=
    1
    3
    x
    （1）求椭圆的方程；
    （2）延长OC到E，使
    OE
    =
    		2
    OC
    ，求△ABE的外接圆方程．
    分析：（1）由于A（a，0），B（0，b），利用中点坐标公式可得：线段AB的中点M(
    a
    2
    ，
    b
    2
    )    ．由于直线OM的方程为y=
    1
    3
    x    ，可得a与b的关系．又焦距2c=4
    		2
    ，与a2=b2+c2联立即可得出；
    （2）由（1）可得M(
    3
    2
    ，
    1
    2
    )    ，设E（x，y），利用
    OE
    =
    		2
    OC
    ，可得E的坐标．设△ABE的外接圆的方程为
    x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A，B，E三点的坐标代入即可得出D，E，F．
    解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴线段AB的中点M(
    a
    2
    ，
    b
    2
    )    ．精英家教网
    ∵直线OM的方程为y=
    1
    3
    x    ，∴
    b
    2
    =
    1
    3
    ×
    a
    2
    ，即a=3b．
    又焦距2c=4
    		2
    ，联立
    a=3b
    2c=4
    		2
    a2=b2+c2
    解得c=2
    		2
    ，b=1，a=3．
    ∴椭圆E的方程为
    x2
    9
    +y2=1    ．
    （2）联立
    y=
    1
    3
    x
    x2
    9
    +y2=1
    解得C(
    3
    		2
    2
    ，
    		2
    2
    )    ．
    设E（x，y），∵
    OE
    =
    		2
    OC
    ，
    ∴（x，y）=
    		2
    (
    3
    		2
    2
    ，
    		2
    2
    )    =（3，1），即E（3，1）．
    设△ABE的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
    把A，B，E三点的坐标代入可得
    1+E+F=0
    9+3D+F=0
    9+1+3D+E+F=0
    ，解得
    D=-3
    E=-1
    F=0
    ．
    ∴．△ABE的外接圆的方程为x2+y2-3x-y=0．
    点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、向量的运算、利用“待定系数法”求三角形外接圆的方程等基础知识与基本技能方法，属于难题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网给定椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
    		a2+b2
    的圆是椭圆C的“伴随圆”．
    （1）若椭圆C过点(
    		5
    ，0)    ，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
    （2）如果直线x+y=3
    		2
    与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点Q（a，b）轨迹的大致图形；
    （3）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（-
    		2
    ，0）、F2（
    		2
    ，0），椭圆C上一动点M1满足|
    M1F1
    |+|
    M1F
    2    |=2
    		3
    ．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l1、l2使得l1、l2与椭圆C都各只有一个交点，且l1、l2分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与y轴正半轴的交点时，求l1与l2的方程，并求线段|
    MN
    |    的长度．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1  (a＞b＞0)    的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
    10
    3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN
    必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
    （3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y2=2px（p＞0）写出一个更一般的结论，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1  (a＞b＞0)    左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
    过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
    10
    3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
    A选修4-1：几何证明选讲
    如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．
    求证：∠ACB=
    1
    3
    ∠OAC．
    B选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    .
    11
    21
    .
    ，向量
    β
    =
    1
    2
    ．求向量
    a
    ，使得A2
    a
    =
    β
    ．
    C选修4-3：坐标系与参数方程
    已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
    a
    3cos2θ+4sin2θ
    ，焦距为2，求实数a的值．
    D选修4-4：不等式选讲
    已知函数f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+
    (a+b+c)2
    3
    （a，b．c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•安徽）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    （a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（
    		2
    ，
    		3
    ）．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2
    		2
    ），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．

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