Question

已知一袋有2个白球和4个黑球．
（1）现有放回地从袋中摸球（每次摸一球），求在4次摸球中恰好摸到2个黑球的概率；
（2）现采用不放回从袋中摸球（每次摸一球），令X表示恰好摸出全部黑球时摸球的次数，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）采取放回抽样方式，从中摸出四个球，每次都有6种可能，故基本事件有6⁴个；在满足条件的事件中，也就是说在4次摸球中恰好摸到2个黑球，选黑球的有C

2 4

个，安排黑球有4²种方法，安排白球有2²种方法，由此可求概率；
（2）X表示恰好摸出全部黑球时摸球的次数，则X=4，5，6．求出相应的概率，可得X的分布列与期望．

解答：解：（1）取放回抽样方式，从中摸出4个球，每次都有6种可能，故基本事件有6⁴个，
在满足条件的事件中，选黑球的有C

2 4

个，安排黑球有4²种方法，安排白球有2²种方法，
故在4次摸球中恰好摸到2个黑球的概率P=

C 2 4 •42•22

64

=

8

27

；
（2）X表示恰好摸出全部黑球时摸球的次数，则X=4，5，6．
P（X=4）=

A 4 4

A 4 6

=

1

15

；P（X=5）=

C 3 4 A 3 4 A 1 2

A 5 6

=

4

15

；P（X=6）=

C 2 4 • A 2 4 A 2 2

A 6 6

=

2

3

；…（7分）
ξ的分布列为：

X	4	5	6
P	1 15	4 15	2 3

…（9分）
EX=4×

1

15

+5×

4

15

+6×

2

3

=

28

5

．

点评：本题考查有放回抽样的概率和不放回抽样的分布列与期望，考查学生应用知识的能力，中等题．