Question

设数{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式，先要根据已知条件判断数列是否为等差（比）数列，由a₁=1，a_n+1=2S_n+1，得到数列{a_n}为等比数列，而由数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，得数列{b_n}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）由（1）中结论，可得 ，即数列{c_n}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，
a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁．
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以a_n=3^n-1．
由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，所以b_n+1-b_n=2．
则数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则b_n=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
则 ，
两式相减得：．
所以 =．
点评：解决等差数列与等比数列的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．