Question

（2013•奉贤区二模）已知椭圆：

x2

9

+

y2

b2

=1(0＜b＜3)，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，则|

BF2

|+|

AF2

|的最大值为

36-2b2

3

．

Answer 1

分析：如图所示，利用椭圆的定义得到|

BF2

|+|

AF2

|=12-|

AB

|．因此只有当|

AB

|取得最小值时，|

BF2

|+|

AF2

|取得最大值，分AB⊥x轴和AB与x轴不垂直两种情况讨论，当AB与x轴不垂直时，利用弦长公式即可得出，通过比较得到|

AB

|的最小值．

解答：解：如图所示，
由椭圆的定义可知：|

AF1

|+|

AF2

|=2×3=|

BF1

|+|

BF2

|，
∴|

BF2

|+|

AF2

|=12-|

AB

|．好
当AB⊥x轴时，把x=-c代入椭圆的方程得

c2

9

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

3

，
此时，|

AB

|=

2b2

3

，则|

BF2

|+|

AF2

|=12-

2b2

3

=

36-2b2

3

；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+c），A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂）．
联立

y=k(x+c) x2 9 + y2 b2 =1

，消去y得到（b²+9k²）x²+18k²cx+9k²c²-9b²=0，
∴x1+x2=-

18k2c

b2+9k2

，x1x2=

9k2c2-9b2

b2+9k2

，
∴|

AB

|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( -18k2c b2+9k2 )2- 4(9k2c2-9b2) b2+9k2 ]

=

6b2(1+k2)

b2+9k2

＞

6b2(1+k2)

9+9k2

=

2b2

3

．
综上可知：只有当AB⊥x轴时，|

AB

|取得最小值，此时|

BF2

|+|

AF2

|取得最大值

36-2b2

3

．
故答案为

36-2b2

3

．

点评：熟练掌握椭圆的定义、分类讨论的思想方法、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式的应用是解题的关键．