Question

函数f(x)=

log2(x+1)，0≤x≤1 2x， -1≤x＜0

的值域是

 

．

Answer 1

分析：根据分段函数的解析式，分两段进行求解，当0≤x≤1时，利用复合函数的单调性的判断法则，可以得到函数f（x）为单调增函数，即可求得f（x）的取值范围即值域，当-1≤x＜0时，判断出f（x）为单调递增函数，利用单调性求出f（x）的取值范围，即可得f（x）的值域，最后取两个值域的并集，可以求得f（x）的值域．

解答：解：函数f(x)=

log2(x+1)，0≤x≤1 2x， -1≤x＜0

，
①当0≤x≤1时，f（x）=log₂（x+1），
∵y=x+1在[0，1]上单调递增，而y=log₂x在其定义域上为单调递增函数，
∴f（x）=log₂（x+1）在[0，1]上单调递增，
∴f（0）≤f（x）≤f（1），
即log₂（0+1）≤f（x）≤log₂（1+1），
∴log₂1≤f（x）≤log₂2，
∴0≤f（x）≤1，
∴f（x）的值域为[0，1]；
②当-1≤x＜0时，f（x）=2x是[-1，0）上的单调递增函数，
∴f（-1）≤f（x）＜f（0），
即-2≤f（x）＜0，
∴f（x）的值域为[-2，0）．
综合①②可得，f（x）的值域为[-2，1]．

点评：本题考查了对数函数的值域与最值，求函数的值域要注意考虑定义域的取值，再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．属于中档题．