Question

在四棱锥AB₁中，AB₁D₁C平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（3）若PA=

6

，求证：平面PBC⊥平面PDC．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是菱形，知AC⊥BD，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BD，由此能够证明BD⊥平面PAC．
（2）过B作BM∥AC交DA延长线与M，连接PM，∠PBM或其补角为PB与AC所成角，由此能求出PB与AC所成角的余弦值．
（3）作BH⊥PC，连接HD，由PA⊥平面ABCD，知PB=PD，由CD=CB，PC=PC，知△PBC≌△PDC，由此能够证明PBC⊥面PDC．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．
（2）解：过B作BM∥AC交DA延长线与M，
连接PM，∠PBM或其补角为PB与AC所成角，
∵BM∥AC，AM∥BC，
∴四边形MACB是平行四边形，
∴BM=AC=2

3

，
PB=PM=2

2

，
∴cos∠PBM=

6

4

．
（3）证明：作BH⊥PC，连接HD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PB=PD，
∵CD=CB，PC=PC，
∴△PBC≌△PDC，
∵BH⊥PC，∴HD⊥PC，
∴∠BHD为二面角的平面角，
∵AP=

6

，PB=

10

，PC=3

2

，BC=2，
∴BH=

2

，
cos∠BHD=0，
∴面PBC⊥面PDC．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，考查平面与平面垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．