Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）证明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）若点P为B₁C₁的中点，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

证明：（1）∵A₁B⊥面ABC，∴A₁B⊥AC，------（1分）
又AB⊥AC，AB∩A₁B=B
∴AC⊥面AB₁B，------（3分）
∵AC?面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁B；------（4分）
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（02，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
所以 ，．
所以 ，
故AA₁与棱BC所成的角是 ． …（8分）
（3）因为P为棱B₁C₁的中点，所以P的坐标为（1，3，2）． …（10分）
设平面PAB的法向量为 =（x，y，z），则
令z=1故 …（12分）
而平面ABA₁的法向量 =（1，0，0），则 =
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是 ． …（14分）
分析：（1）因为顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，得到A₁B⊥AC，又AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可得AC⊥面AB₁B，从而可证平面A₁AC⊥平面AB₁B．
（2）建立空间直角坐标系，求出 ，，利用向量的数量积公式求出棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）求出平面PAB的法向量为 ，而平面ABA₁的法向量 =（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．
点评：本题以三棱柱为载体，考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．