Question

已知数列{a_n}满足：a1=2，an+1=(1+

a

1 n n

)n+1(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：

1

a1

+

3

a2

+

5

a3

+…+

2n-1

an

＜1(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，可得{an

1

n

}组成以2为首项，1为公差的等差数列，由此可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用放缩法进行证明，证明

1

(n+1)n

＜

1

n2

即可得到结论．

解答：（1）解：∵an+1=(1+

a

1 n n

)n+1(n∈N*)，
∴an+1

1

n+1

=1+an

1

n

∴an+1

1

n+1

-an

1

n

=1
∵a₁=2
∴{an

1

n

}组成以2为首项，1为公差的等差数列
∴an

1

n

=n+1，
∴a_n=（n+1）ⁿ；
（2）证明：当n=1时，

1

a1

=

1

2

＜1，成立；当n=2时，

1

a1

+

3

a2

=

1

2

+

1

3

＜1，成立；
当n＞2时，（n+1）ⁿ＞（n+1）²＞n²，∴

1

(n+1)n

＜

1

n2

∴

1

a1

+

3

a2

+

5

a3

+…+

2n-1

an

＜

1+3+…+(2n-1)

n2

=1．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．