Question

若

0≤x≤ π 2 sinx≤y≤cosx

，z=x+2y，则z的取值范围是

[0，

π

6

+

3

]

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．

解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点(0，

z

2

)．
观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0
直线l：z=x+2y与曲线y=cosx(0≤x≤

π

2

)相切于点A时，z达到最大值．
∵由y′=-sinx=-

1

2

得x=

π

6

，
∴代入函数表达式，可得A(

π

6

，

3

2

)，
由此可得z_max=

π

6

+2×

3

2

=

π

6

+

3

．
综上所述，可得z的取值范围为[0，

π

6

+

3

]．
故答案为：[0，

π

6

+

3

]

点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．