Question

已知函数f（x）=

a2

3

x3 -2ax2+bx其中a，b∈R，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用f′（0）=3即可解出；
（II）由函数f（x）在x=1处取得极大值，可得f′（1）=a²-4a+3=0，解得a=1或3．再分别讨论是否符合取得极大值的充分条件即可．

解答：解：（I）f′（x）=a²x²-4ax+b，由题意可得f′（0）=b=3．
∴b=3．
（II）由函数f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=a²-4a+3=0，解得a=1或3．
①当a=1时，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）．列表如下：
由表格可知：函数f（x）在x=1处取得极大值，满足题意．
②同理可得：当a=3时，函数f（x）在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．
综上所述：当a=1时，函数f（x）在x=1处取得极大值．

点评：熟练掌握导数的几何意义、利用导数研究函数的极值等是解题的关键．