Question

已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件以及正弦定理求出B的正弦值，然后求角B的大小；
（2）通过三角形的内角和，化简sinA+sinC为A的表达式，通过A的范围求出函数值的取值范围．

解答：解：（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=

1

2

．
∵B∈（0，π）
∴B=

π

3

．
（2）sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）
=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

sin(A+

π

6

)
∵A∈(0，

2π

3

)，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜ 

5π

6

∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1
所以sinA+sinC的取值范围(

3

2

，

3

]

点评：本题考查正弦定理，三角形的内角和的应用，也可以利用余弦定理解答本题，注意角的范围的应用，考查计算能力．