Question

已知n个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明：这n个圆将平面划分成n²-n+2块区域.

Answer 1

思路分析：用数学归纳法解几何问题.

证明：（Ⅰ）当n=1时,1个圆将平面分成2部分，而2=1²-1+2，

∴当n=1时命题正确.

(Ⅱ)假设n=k时命题正确，即满足条件的k个圆将平面划分成k²-k+2部分，

∴当n=k+1时，平面上增加了第k+1个圆，它与原来的k个圆的每一个圆都相交于两个不同点，共2k个交点.而这2k个点将第k+1个圆分成2k段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块，

∴k+1个圆将平面划分成的块数为

(k²-k+2)+2k=k²+k+2=(k+1)²-(k+1)+2，

∴n=k+1时命题也正确，

根据(Ⅰ)(Ⅱ)知命题对n∈N^*都正确.

误区警示

    用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，所以语言一定精确，要能准确地描述第二步的假设，合理清晰地推导出结论.