Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²-（3-a）x+2（1-a）（其中a∈R）．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x-3对任意x＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可；
（II）利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-2）[x-（1-a）]，
∴f（x）＞0?（x-2）[x-（1-a）]＞0，
当a＜-1时，不等式的解集为（-∞，2）∪（1-a，+∞）；
当a=-1时，不等式的解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；
当a＞-1时，不等式的解集为（-∞，1-a）∪（2，+∞）．
（Ⅱ）不等式f（x）≥x-3，即a≥-

x2-4x+5

x-2

恒成立，
又当x＞2时，-

x2-4x+5

x-2

=-(x-2+

1

x-2

)≤-2（当且仅当x=3时取“=”号），
∴a≥-2．

点评：本题考查利用分类讨论思想解不等式，及利用基本不等式求函数的最值．