Question

已知数列{a_n}，{b_n）满足a₁=2，b₁=1，且

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2），数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n
（1）求c₁和c₂的值；
（2）求证：数列 {c_n}为等差数列，并求出数列{c_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}的前n和为S_n，求证：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可得结论；
（2）根据题设得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2），即可得到数列{c_n}的通项公式c_n；
（3）求出前n项和S_n，可得{

1

Sn

}的通项，利用裂项法，即可证得结论．

解答：（1）解：（1）由题意，∵a₁=2，b₁=1，∴c₁=a₁+b₁=3，
∵a2=

3

4

a1+

1

4

b1+1=

11

4

，b2=

1

4

a1+

3

4

b1+1=

9

4

，
∴c₂=a₂+b₂=5；
（2）证明：因为

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2），
∴c_n=a_n+b_n=（

3

4

an-1+

1

4

bn-1+1）+（

1

4

an-1+

3

4

bn-1+1）=a_n-1+b_n-1+2=c_n-1+2
∴c_n-c_n-1=2，即数列{c_n}是以c₁=3为首项，2为公差的等差数列
∴c_n=3+2（n-1）=2n+1；
（3）证明：S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），∴

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

＜1．

点评：本题主要考查等差数列的性质以及数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．