Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=-n²+n,求数列{｜a_n｜}的前n项和T_n.

Answer 1

(1)当n≤34时,

T_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+n.

(2)当n≥35时,

T_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a₃₄｜+｜a₃₅｜+｜a₃₆｜+…+｜a_n｜.

=(a₁+a₂+…+a₃₄)-(a₃₅+a₃₆+…+a_n)

=2(a+a₂+…+a₃₄)-(a₁+a₂+…a_n)

=2S₃₄-S_n

=2(-×34²+×34)-(-n²+n)

=n²-n+3 502,

故T_n=

解析:

a₁=S₁=-+=101.

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=-3n+104.

∵a₁也适合a_n=-3n+104,

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=-3n+104(n∈N^*).

由a_n=-3n+104≥0,得n≤34.7,

即当n≤34时,a_n＞0;当n≥35时,a_n＜0.

(1)当n≤34时,

T_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+n.

(2)当n≥35时,

T_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a₃₄｜+｜a₃₅｜+｜a₃₆｜+…+｜a_n｜.

=(a₁+a₂+…+a₃₄)-(a₃₅+a₃₆+…+a_n)

=2(a+a₂+…+a₃₄)-(a₁+a₂+…a_n)

=2S₃₄-S_n

=2(-×34²+×34)-(-n²+n)

=n²-n+3 502,

故T_n=