Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B，由已知可证OA₁⊥AB，AB⊥平面OA₁C，进而可得AB⊥A₁C；
（2）易证OA，OA₁，OC两两垂直．以O为坐标原点，

OA

的方向为x轴的正向，|

OA

|为单位长，建立坐标系，可得

BC

，

.

BB1

，

A1C

的坐标，求出平面BB₁C₁C的法向量

n

，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（1）取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
所以△AA₁B为等边三角形，所以OA₁⊥AB，
又因为OC∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C，
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
解：（2）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC两两垂直．
以O为坐标原点，

OA

的方向为x轴的正向，|

OA

|为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A₁（0，

3

，0），C（0，0，

3

），B（-1，0，0），
则

BC

=（1，0，

3

），

.

BB1

=

.

AA1

=（-1，

3

，0），

A1C

=（0，-

3

，

3

），
设

n

=（x，y，z）为平面BB₁C₁C的法向量，
则

n • BC =0 n • BB1 =0

，即

x+ 3 z=0 -x+ 3 y=0

，
可取y=1，可得

n

=（

3

，1，-1），
故sin＜

n

，

A1C

＞=

| n • A1C |

| n |•| A1C |

=

10

5

∴cos＜

n

，

A1C

＞=

15

5

点评：本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．