Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=8，令b_n=log₂a_n，S_n是数列{b_n}的前n项和，若S₃是数列{S_n}中的唯一最大项，则{a_n}的公比q的取值范围是

2

4

＜q＜

1

2

．

Answer 1

分析：由题意易得数列{b_n}的通项公式，可判其为等差数列，进而把问题转化为

b3＞0 b4＜0

，代入可解到q的范围．

解答：解：由题意可得a_n=a₁q^n-1=8•q^n-1，
所以b_n=log₂a_n=log₂（8•q^n-1）
=3+log2qn-1=3+（n-1）log₂q，
上式为关于n的一次函数的形式，故数列{b_n}为等差数列，
又知S₃是数列{S_n}中的唯一最大项，故

b3＞0 b4＜0

代入可得

3+2log2q＞0 3+3log2q＜0

，解得-

3

2

＜log2q＜-1，
故2-

3

2

＜q＜2^-1，即

2

4

＜q＜

1

2

故答案为：

2

4

＜q＜

1

2

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，设及转化的思想，属基础题．