Question

已知函数f(x)=x³-x²-3x+,直线l:9x+2y+c=0.

(1)求证:直线l与函数y=f(x)的图象不相切;

(2)若当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线l的下方,求c的范围.

Answer 1

(1)证法一:f′(x)=x²-2x-3=(x-1)²-4≥-4.                                   

根据导数的几何意义知,函数y=f(x)的图象上任意一点处切线的斜率均不小于-4.    

而直线l:9x+2y+c=0的斜率为-＜-4,

所以直线l与函数y=f(x)的图象不相切.                                       

证法二:f′(x)=x²-2x-3.                                                       

假设直线l:9x+2y+c=0与函数y=f(x)的图象相切,

则x²-2x-3=-有实数解,即x²-2x+=0有实数解.                              

因为Δ=-2＜0,方程x²-2x+=0无实数解,

所以直线l与函数y=f(x)的图象不相切.                                        

(2)解:当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线l的下方,即x³-x²-3x+-(-x-)＜0对一切x∈［-2,2］都成立,                                                       

即c＜x³+2x²-3x-对一切x∈［-2,2］都成立.                                

令g(x)=x³+2x²-3x-.

因为g′(x)=-2x²-4x-3=-2(x-1)²-1＜0,所以g(x)在［-2,2］上单调递减.               

所以当x∈［-2,2］时,［g(x)］_min=g(2)=×2³+2×2²-3×=-6.             

所以c＜-6.所以c的范围是(-∞,-6).