Question

某销售商销售某品牌手机，该品牌手机进价为每部1580元，零售价为每部1880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元（礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推），销售量都增加11%．
（1）当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？
（2）试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？

Answer 1

分析：（1）设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m部，则原来利润为（1880-1580）m元，当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为（1880-1580-30）m（1+11%）²，两式相比，可得结果；
（2）当赠送礼物的价值为15x元时，销售的总利润为f（x）元，则f（x）=（1880-1580-15x）•m•（1+11%）^x，（x∈N，且x≤12），由f（x）的增减性，得x=10时，f（x）取得最大值，即获得最大利润．

解答：解：（1）设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m部，则原来利润为（1880-1580）m=300m元，
当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为（1880-1580-30）m（1+11%）²=1.2321×270m，

1.2321×270m

300m

=1.10889，即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍．                                                        
（2）当赠送礼物的价值为15x元时，销售的总利润为f（x）元，则
f（x）=（1880-1580-15x）•m•（1+11%）^x=15m（20-x）•1.11^x，（x∈N，且x≤12），
∴f（x+1）-f（x）=15m（1.09-0.11x）•1.11^x，
令f（x+1）-f（x）≥0，得x≤9

10

11

，
∵x∈N，且x≤12，
∴当x≤9时，f（x+1）＞f（x），当9＜x≤12时，f（x+1）＜f（x）；
所以，当赠送礼物的价值为150元时，可以获得最大利润．

点评：本题考查了利润函数模型的应用，也是指数函数模型的应用，并且利用函数的增减性求得函数的最值．