Question

已知

π

4

＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，cos(α-β)=

12

13

，sin(α+β)=-

3

5

，则cos2β=

-

63

65

．

Answer 1

分析：先利用平方关系求出cos（α+β）=-

4

5

，sin（α-β）=

5

13

，然后利用差角公式可求得cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]的值，注意判断相关三角函数值的符号．

解答：解：由

π

4

＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，得

3

4

π＜α+β＜

5

4

π，
又sin（α+β）＜0，所以π＜α+β＜

5

4

π，
所以cos（α+β）=-

4

5

，
由已知可得0＜α-β＜

π

2

，所以sin（α-β）=

5

13

，
所以cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）]+sin（α+β）sin（α-β）
=（-

4

5

）×

12

13

+（-

3

5

）×

5

13

=-

63

65

．
故答案为：-

63

65

．

点评：本题考查二倍角的余弦、两角和与差的正弦函数，考查学生的运算求解能力，属中档题．