Question

已知函数f（x）=1-2sin²

x

2

+sinx，若x₀∈（

π

4

，

3π

4

），且f（x₀）

3 2

5

，则f（x₀+

π

3

）=

3 2 -4 6

10

．

Answer 1

分析：把函数解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，由f（x₀）的值，得到sinx₀+cosx₀的值，利用同角三角函数间的基本关系变形可得出sinx₀-cosx₀的值，两者联立求出sinx₀和cosx₀的值，然后把所求式子中的自变量的值代入化简后的解析式中，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将求出sinx₀和cosx₀的值代入即可求出值．

解答：解：函数f（x）=1-2sin²

x

2

+sinx
=cosx+sinx，又f（x₀）=

3 2

5

，
化简得：sinx₀+cosx₀=

3 2

5

①，又sin²x₀+cos²x₀=1，
∴（sinx₀+cosx₀）²=sin²x₀+2sinx₀cosx₀+cos²x₀=

18

25

，
即2sinx₀cosx₀=-

7

25

，
∴（sinx₀-cosx₀）²=sin²x₀-2sinx₀cosx₀+cos²x₀=1+

7

25

=

32

25

，
∵x₀∈（

π

4

，

3π

4

），∴sinx₀＞cosx₀，
∴sinx₀-cosx₀=

4 2

5

②，
联立①②解得：sinx₀=

7 2

10

，cosx₀=-

2

10

，
则f（x₀+

π

3

）=cos（x₀+

π

3

）+sin（x₀+

π

3

）
=

1+ 3

2

cosx₀+

1- 3

2

sinx₀
=

3 2 -4 6

10

．
故答案为：

3 2 -4 6

10

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系的运用，两角和与差的正弦、余弦函数公式，函数的值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式，灵活运用基本关系是解本题的关键．