Question

f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（　　）

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：令h（x）=f（x）g（x），依题意可知h（x）=f（x）g（x）为R上的奇函数，在对称区间上有相同的单调性，f（-2）=0，从而可求得f（x）g（x）＜0的解集．

解答：解：令h（x）=f（x）g（x），
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴h（x）=f（x）g（x）为R上的奇函数．
又当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
∴h（x）=f（x）g（x）在（-∞，0）上单调递减，
又h（x）=f（x）g（x）为R上的奇函数，
∴h（x）=f（x）g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（-2）=0，故f（2）=0，

∴当-2＜x＜0，或x＞2时，f（x）g（x）＜0．
故f（x）g（x）＜0的解集为（-2，0）∪（2，+∞）．
故选A．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查奇偶性与单调性的综合，考查构造函数思想与转化思想，属于中档题．